Ein bestimmtes Integral numerisch annähern
Ein bestimmtes Integral beschreibt die orientierte Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse. Bereiche unterhalb der Achse tragen negativ zum Integral bei. Das Ergebnis ist daher nicht immer die geometrische Gesamtfläche.
So gibst du die Werte ein
Schreibe die Funktion mit x, expliziten Multiplikationszeichen und Klammern. Gib eine endliche untere und obere Grenze ein und wähle die absolute Rechentoleranz. Für x^2 von 0 bis 1 ist die erwartete Näherung 0,333333…. Trigonometrische Funktionen verwenden das Bogenmaß, log und ln den natürlichen Logarithmus. Die Funktion muss im gesamten Intervall reell, stetig und beschränkt sein. Ein Ausdruck, dessen Definitionsbereich nicht sicher geprüft werden kann, kann vorsorglich abgelehnt werden.
Formel und Rechenweg
Das Integral von a bis b wird numerisch durch adaptive Unterteilung angenähert. Die Rechnung endet nur mit einem Ergebnis, wenn die verwendeten Konvergenzprüfungen erfüllt sind.
Ein Beispiel aus der Praxis
Das Integral von x² zwischen 0 und 1 beträgt exakt 1/3. Das Integral von x zwischen −1 und 1 ist null, weil sich positive und negative Beiträge aufheben.
Werte zum Nachschlagen
| Ausgangswert / Begriff | Ergebnis / Bedeutung |
|---|---|
| ∫₀¹ x² dx | 1/3 |
| ∫₀¹ 2*x dx | 1 |
| ∫₋₁¹ x dx | 0 |
Darauf solltest du achten
Der Rechner liefert eine numerische Näherung und keine allgemeine symbolische Stammfunktion. Unstetigkeiten, Pole oder stark oszillierende Funktionen können numerische Verfahren überfordern. Uneigentliche Integrale, Polstellen und Hauptwerte gehören nicht zum unterstützten Modell. Dafür ist ein geeignetes Spezialverfahren erforderlich.
Einordnung für die Praxis
Die adaptive Simpson-Methode unterteilt das Intervall dort weiter, wo die Schätzungen noch nicht ausreichend übereinstimmen. Eine kleinere Toleranz verlangt eine engere numerische Prüfung, garantiert aber nicht pauschal beliebig viele korrekte Dezimalstellen. Besonders problematisch sind unerkannte schmale Spitzen und schnelle Schwingungen. Für eine Kontrolle kannst du ein einfaches Integral mit bekanntem Ergebnis verwenden oder ein zulässiges Intervall in zwei Teile aufteilen und die Ergebnisse addieren. Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Ein Integral von x über −1 bis 1 ergibt null, obwohl geometrisch zwei Dreiecksflächen vorhanden sind. Das Tool gibt keine allgemeine Stammfunktion an.
Passend dazu: Eine Funktion symbolisch ableiten und an einer Stelle auswerten.