Ableitung und Steigung getrennt lesen
Die erste Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion. An einer bestimmten Stelle entspricht ihr Wert der Tangentensteigung. Eine positive Ableitung bedeutet dort einen Anstieg, eine negative einen Abfall.
So gibst du die Werte ein
Schreibe die Funktion mit der Variablen x. Multiplikationen benötigen einen Stern, etwa 4*x; Potenzen schreibst du mit ^. Klammern machen die Reihenfolge eindeutig, zum Beispiel sin(2*x). Trage außerdem die Stelle ein, an der die Ableitung ausgewertet werden soll. Unterstützt werden sin, cos, exp, ln beziehungsweise log und sqrt. ln und log meinen hier beide den natürlichen Logarithmus. Für Funktionsausdrücke verwendest du einen Dezimalpunkt und trigonometrische Winkel im Bogenmaß.
Formel und Rechenweg
Potenzregel: d(xⁿ)/dx = n × xⁿ⁻¹. Summen werden gliedweise abgeleitet; Produkte und Verkettungen benötigen Produkt- beziehungsweise Kettenregel.
Ein Beispiel aus der Praxis
Für f(x) = x² + 3*x lautet die Ableitung 2*x + 3. Bei x = 2 ist die Steigung 7. Schreibe Multiplikationen mit einem Stern und Potenzen mit ^, damit die Eingabe eindeutig ist.
Werte zum Nachschlagen
| Ausgangswert / Begriff | Ergebnis / Bedeutung |
|---|---|
| x² | 2*x |
| sin(x) | cos(x) |
| exp(x) | exp(x) |
| ln(x) | 1/x für x > 0 |
Darauf solltest du achten
Eine formal darstellbare Ableitung muss nicht an jeder Stelle definiert sein. ln(x) benötigt im Reellen x > 0; Quotienten sind bei einem Nenner von null nicht definiert. Der Rechner prüft unterstützte Ausdrücke, ersetzt aber keine Untersuchung sämtlicher Sonderfälle.
Einordnung für die Praxis
Unterscheide den abgeleiteten Term von seinem Wert an einer einzelnen Stelle. Bei f(x) = x^2 ist f′(x) = 2*x eine neue Funktion; erst das Einsetzen von x = 3 ergibt die Steigung 6. Die Funktionshöhe wäre dagegen 9. Für eine Tangente an dieser Stelle brauchst du beide Werte. Wenn eine Eingabe wegen ihres Definitionsbereichs abgelehnt wird, hilft das bloße Verändern der Schreibweise nicht immer. Beispielsweise ist ln(x) im reellen Zahlenbereich bei x = 0 nicht definiert. Der Rechner unterstützt keine Fallunterscheidungen und keine komplexen Zahlen. Eine numerische Auswertung ersetzt außerdem keine Untersuchung aller Extremstellen.
Passend dazu: Bestimmte Integrale numerisch untersuchen.